Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych $V$ i $W$ nad tym samym ciałem $K$ to para $(Z,\otimes ),$ gdzie $Z$ to przestrzeń liniowa nad ciałem $K,$ a $\otimes \colon V\times W\to Z$ to przekształcenie dwuliniowe dane wzorem $(v,w)\mapsto v\otimes w,$ które nazywamy iloczynem tensorowym, przy czym spełniona jest tzw. własność uniwersalności. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu.

Definicja

Niech $V,W$ będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi. Przestrzeń liniową $Z$ wraz z przekształceniem dwuliniowym $\theta \colon V\times W\to Z$ nazwiemy iloczynem tensorowym przestrzeni $V$ i $W,$ jeżeli^[1]:

(1) Obraz $\theta (V\times W)$ rozpina przestrzeń $Z.$

(2) Dla każdego przekształcenia dwuliniowego $\varphi \colon V\times W\to U$ (w dowolną przestrzeń liniową $U$ ) istnieje przekształcenie liniowe $\lambda \colon Z\to U$ takie, że $\varphi =\lambda \circ \theta .$

Przestrzeń liniową $Z$ oznaczamy $V\otimes W,$ a przekształcenie $\theta$ oznaczamy $\otimes$ i nazywamy iloczynem tensorowym.

Innymi słowy, iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych to jedyna z dokładnością do izomorfizmu taka przestrzeń liniowa $Z$ wraz z przekształceniem dwuliniowym $\theta ,$ że poniższy diagram jest przemienny.

Tę własność iloczynu tensorowego nazywa się własnością uniwersalności.

Konstrukcja iloczynu tensorowego

Definicja iloczynu tensorowego jest niekonstruktywna i nie rozstrzyga, czy iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych w ogóle istnieje. Okazuje się, że iloczyn tensorowy dowolnych przestrzeni liniowych $V$ i $W$ nad ciałem $K$ istnieje i może zostać skonstruowany w następujący sposób^[1]^[2]. Niech $Y:=\bigoplus _{V\times W}K$ będzie przestrzenią liniową nad $K$ generowaną przez $V\times W$ . Elementami $Y$ są funkcje postaci $f\colon V\times W\to K$ o skończonym nośniku (tzn. przyjmujące niezerowe wartości tylko dla skończonej liczby par $(v,w)\in V\times W$ ). W $Y$ dla dowolnych $v,v_{1},v_{2}\in V,\ w,w_{1},w_{2}\in W,\ \alpha ,\beta \in K$ wybieramy podprzestrzeń liniową $X$ rozpiętą przez funkcje postaci

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}-\delta _{(v_{1},w)}-\delta _{(v_{2},w)},

\delta _{(\alpha v,w)}-\alpha \delta _{(v,w)},

\delta _{(v,w_{1}+w_{2})}-\delta _{(v,w_{1})}-\delta _{(v,w_{2})},

\delta _{(v,\beta w)}-\beta \delta _{(v,w)},

gdzie $\delta _{(a,b)}\in Y$ dla $(a,b)\in V\times W$ to funkcja dana wzorem

\delta _{(a,b)}(v,w):={\begin{cases}1,&\mathrm {gdy} \ (v,w)=(a,b),\\0,&\mathrm {gdy} \ (v,w)\neq (a,b).\end{cases}}

Przestrzeń ilorazowa $V\otimes W:=Y/X$ wraz z działaniem danym wzorem

v\otimes w:=\delta _{(v,w)}+X

jest iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych $V$ i $W.$

Uwagi do konstrukcji

(1) Powyższa konstrukcja jest standardową konstrukcją iloczynu tensorowego i bardzo często jest podawana jako definicja.

(2) Funkcje $\delta _{(a,b)}$ są najczęściej oznaczane $(a,b)$ i utożsamiane z $(a,b)\in V\times W.$

(3) $v\otimes w=\delta _{(v,w)}+X$ jest zbiorem, elementem rodziny zbiorów $Y/X.$

(4) $Y:=\bigoplus _{V\times W}K$ nie jest dobrym kandydatem na iloczyn tensorowy $V\otimes W,$ gdyż jest przestrzenią liniową nieskończenie wiele wymiarową nawet gdy $V,$ $W$ są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi. Jest więc zdecydowanie zbyt bogata na nasze potrzeby, chcemy bowiem, aby $\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.$

(5) $v\otimes w:=\delta _{(v,w)}$ jest kandydatem na iloczyn tensorowy. Niestety tak zdefiniowany iloczyn tensorowy nie byłby działaniem dwuliniowym, gdyż np.

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}\neq \delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)}.

(6) Chcielibyśmy, aby zachodziły równości

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}=\delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)},

\delta _{(\alpha v,w)}=\alpha \delta _{(v,w)}

itd. Zachodzenie tych równości można wymusić, biorąc odpowiednią przestrzeń ilorazową $B/A.$

(7) Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli $A$ jest podmodułem modułu $B,$ to w module ilorazowym $B/A:=\{x+A;\ x\in B\}$ dla $a\in A$ mamy

a+A=\{a+y;\ y\in A\}=\{y;\ y\in A\}=A=0+A,

czyli w module ilorazowym $B/A$ elementy $A$ są zlepione do zera.

(8) Równości

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}=\delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)}

itd. zachodzą w przestrzeni ilorazowej $Y/X.$ Istotnie, ponieważ

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}-\delta _{(v_{1},w)}-\delta _{(v_{2},w)}\in X,

to w związku z tym co zostało powiedziane powyżej

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}-\delta _{(v_{1},w)}-\delta _{(v_{2},w)}+X=0+X.

Innymi słowy

\delta _{(v_{1}+v_{2},w)}+X=\delta _{(v_{1},w)}+\delta _{(v_{2},w)}+X.

(9) W związku z powyższym $\otimes$ zdefiniowane wzorem

v\otimes w:=\delta _{(v,w)}+X

jest już działaniem dwuliniowym, tak jak powinno być.

(10) Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest zdefiniowany niejednoznacznie i jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W związku z tym w konkretnych zastosowaniach iloczyn tensorowy może być skonstruowany inaczej niż w konstrukcji z poprzedniej sekcji, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych $V$ i $W$ (patrz: Przykłady).

(11) W analogiczny sposób może zostać skonstruowany iloczyn tensorowy modułów.

Baza i wymiar iloczynu tensorowego

Jeżeli przestrzenie liniowe $V,$ $W$ są skończeniewymiarowe, to ich bazy $(v_{i})_{i=1}^{r},$ $(w_{i})_{i=1}^{s}$ indukują bazę iloczynu $V\otimes W$ postaci

\{v_{i}\otimes w_{j};\ i=1,\dots ,r,\ j=1,\dots ,s\}.

W szczególności wynika z tego, że każdy element $t\in V\otimes W$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

t=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{s}t_{i,j}v_{i}\otimes w_{j}

dla pewnych skalarów $t_{i,j}.$

Wynika z tego także, że jeżeli przestrzenie $V$ i $W$ są skończeniewymiarowe, to

\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.

Własności iloczynu tensorowego

(1) Przestrzenie liniowe $V\otimes W$ i $W\otimes V$ są naturalnie izomorficzne, tzn.

V\otimes W\cong W\otimes V.

Jednakże $v\otimes w\neq w\otimes v$ dla $v\neq w$ już nawet, gdy $V=W.$ Wynika to z tego, że w ogólności

\delta _{(v,w)}\neq \delta _{(w,v)}.

(2) Przestrzenie $(U\otimes V)\otimes W$ i $U\otimes (V\otimes W)$ są naturalnie izomorficzne. Pozwala to na pisanie po prostu $U\otimes V\otimes W.$

(3) Jeżeli $V$ i $W$ są skończeniewymiarowe, to

\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych $V_{1},\dots ,V_{n}$ definiujemy w sposób indukcyjny

V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{n}:=(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{n-1})\otimes V_{n}.

Przykłady

Iloczyn tensorowy jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W konkretnych przypadkach iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych można skonstruować inaczej, niż to zostało pokazane w sekcji o konstrukcji iloczynu tensorowego, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych, co pokazują następujące przykłady.

(1) Niech $V:=\mathbb {C} ^{m},\ W:=\mathbb {C} ^{n}.$ Iloczynem tensorowym $V$ i $W$ nazwiemy $V\otimes W:=\mathbb {C} ^{m\cdot n}$ z iloczynem zdefiniowanym następująco

(v_{i})_{i=1}^{m}\otimes (w_{j})_{j=1}^{n}=(v_{1},\dots ,v_{m})\otimes (w_{1},\dots ,w_{n}):=(v_{i}\cdot w_{j})_{\stackrel {i=1,\dots ,m}{j=1,\dots ,n}}.

(2) W szczególności, gdy przykładowo $V:=\mathbb {C} ^{2},\ W:=\mathbb {C} ^{3},$ to iloczynem tensorowym $V\otimes W$ jest $\mathbb {C} ^{6}$ z iloczynem zdefiniowanym jako

(v_{1},v_{2})\otimes (w_{1},w_{2},w_{3}):=(v_{1}w_{1},v_{2}w_{1},v_{1}w_{2},v_{2}w_{2},v_{1}w_{3},v_{2}w_{3})

lub też w zapisie kolumnowym

(v_{1}\ v_{2})^{T}\otimes (w_{1}\ w_{2}\ w_{3})^{T}:=(v_{1}w_{1}\ v_{2}w_{1}\ v_{1}w_{2}\ v_{2}w_{2}\ v_{1}w_{3}\ v_{2}w_{3})^{T}.

(3) Niech $S$ będzie dowolnym zbiorem, a $\mathbb {C} ^{S}$ niech oznacza zbiór funkcji postaci $f\colon S\to \mathbb {C}$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo, tzn.

(f+g)(s):=f(s)+g(s),\quad (\alpha \cdot f)(s):=\alpha \cdot f(s)

dla $\alpha \in \mathbb {C} .$ $\mathbb {C} ^{S}$ z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy przestrzeń liniową.

Niech $S,T$ będą dowolnymi zbiorami. Iloczyn tensorowy przestrzeni $V:=\mathbb {C} ^{S}$ i $W:=\mathbb {C} ^{T}$ definiujemy jako $V\otimes W:=\mathbb {C} ^{S\times T}$ z iloczynem zdefiniowanym wzorem

(f\otimes g)(s,t):=f(s)\cdot g(t).

(4) (Iloczyn tensorowy form wieloliniowych) Niech $U$ będzie dowolną przestrzenią liniową. Niech $T^{k}(U)$ oznacza przestrzeń liniową form $k$ -liniowych na $U$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo. Iloczyn tensorowy przestrzeni $V:=T^{k}(U)$ i $W:=T^{l}(U)$ definiujemy jako $V\otimes W:=T^{k+l}(U)$ z iloczynem danym wzorem